Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 4 - 1 i \\ 4 - 2 i \\ 2 + 2 i \\ 3 - 3 i \end{array}]$

Étape 1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$\sqrt{{| 4 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$\sqrt{{| 4 - i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.2

Utilisez la formule $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ pour déterminer la valeur absolue.

$\sqrt{{\sqrt{4^{2} + {(- 1)}^{2}}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{16 + {(- 1)}^{2}}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{16 + 1}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.5

Additionnez $16$ et $1$ .

$\sqrt{{\sqrt{17}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.6

Réécrivez ${\sqrt{17}}^{2}$ comme $17$ .

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Étape 2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{17}$ comme $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{17^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{17^{\frac{2}{2}} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{17^{\frac{2}{2}} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{17^{1} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{17 + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.7

Utilisez la formule $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ pour déterminer la valeur absolue.

$\sqrt{17 + {\sqrt{4^{2} + {(- 2)}^{2}}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.8

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{17 + {\sqrt{16 + {(- 2)}^{2}}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.9

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{17 + {\sqrt{16 + 4}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.10

Additionnez $16$ et $4$ .

$\sqrt{17 + {\sqrt{20}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.11

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 2.11.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\sqrt{17 + {\sqrt{4 (5)}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.11.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{17 + {\sqrt{2^{2} \cdot 5}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.12

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt{17 + {(2 \sqrt{5})}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.13

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{17 + 2^{2} {\sqrt{5}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.14

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{17 + 4 {\sqrt{5}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.15

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 2.15.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{17 + 4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.15.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{17 + 4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.15.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{17 + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.15.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.15.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{17 + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.15.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{17 + 4 \cdot 5^{1} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.15.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{17 + 4 \cdot 5 + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.16

Multipliez $4$ par $5$ .

$\sqrt{17 + 20 + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.17

Utilisez la formule $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ pour déterminer la valeur absolue.

$\sqrt{17 + 20 + {\sqrt{2^{2} + 2^{2}}}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.18

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{17 + 20 + {\sqrt{4 + 2^{2}}}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.19

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{17 + 20 + {\sqrt{4 + 4}}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.20

Additionnez $4$ et $4$ .

$\sqrt{17 + 20 + {\sqrt{8}}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.21

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.21.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\sqrt{17 + 20 + {\sqrt{4 (2)}}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.21.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{17 + 20 + {\sqrt{2^{2} \cdot 2}}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.22

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt{17 + 20 + {(2 \sqrt{2})}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.23

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{17 + 20 + 2^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.24

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{17 + 20 + 4 {\sqrt{2}}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.25

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.25.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{17 + 20 + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.25.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{17 + 20 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.25.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{17 + 20 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.25.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.25.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{17 + 20 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.25.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{17 + 20 + 4 \cdot 2^{1} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.25.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{17 + 20 + 4 \cdot 2 + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.26

Multipliez $4$ par $2$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.27

Utilisez la formule $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ pour déterminer la valeur absolue.

$\sqrt{17 + 20 + 8 + {\sqrt{3^{2} + {(- 3)}^{2}}}^{2}}$

Étape 2.28

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + {\sqrt{9 + {(- 3)}^{2}}}^{2}}$

Étape 2.29

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + {\sqrt{9 + 9}}^{2}}$

Étape 2.30

Additionnez $9$ et $9$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + {\sqrt{18}}^{2}}$

Étape 2.31

Réécrivez $18$ comme $3^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.31.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + {\sqrt{9 (2)}}^{2}}$

Étape 2.31.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + {\sqrt{3^{2} \cdot 2}}^{2}}$

Étape 2.32

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt{17 + 20 + 8 + {(3 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 2.33

Appliquez la règle de produit à $3 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + 3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.34

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + 9 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.35

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.35.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + 9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.35.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + 9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.35.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.35.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.35.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{17 + 20 + 8 + 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.35.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{17 + 20 + 8 + 9 \cdot 2^{1}}$

Étape 2.35.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{17 + 20 + 8 + 9 \cdot 2}$

Étape 2.36

Multipliez $9$ par $2$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + 18}$

Étape 2.37

Additionnez $17$ et $20$ .

$\sqrt{37 + 8 + 18}$

Étape 2.38

Additionnez $37$ et $8$ .

$\sqrt{45 + 18}$

Étape 2.39

Additionnez $45$ et $18$ .

$\sqrt{63}$

Étape 2.40

Réécrivez $63$ comme $3^{2} \cdot 7$ .

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Étape 2.40.1

Factorisez $9$ à partir de $63$ .

$\sqrt{9 (7)}$

Étape 2.40.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2} \cdot 7}$

Étape 2.41

Extrayez les termes de sous le radical.

$3 \sqrt{7}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$3 \sqrt{7}$

Forme décimale :

$7.93725393 \dots$